Calculează suma S_n a seriei (progresiei) aritmetice, daca se știu: primul termen al seriei -2, rația -1/2 și ultimul termen -85.5

Iată un exemplu de progresie (serie) aritmetică, formată din șase termeni, asemănătoare celei introduse în această pagină. Începând cu primul termen:
- 2, - ⁵/₂, - 3, - ⁷/₂, - 4, - ⁹/₂.

O serie aritmetică (numită și progresie aritmetică) este un set de numere ordonate (în ordine crescătoare sau descrescătoare) în care diferența între oricare două numere consecutive este aceeași. Această diferență se numește rația seriei (progresiei) aritmetice. Numerele astfel ordonate se numesc termenii seriei.

Rația seriei se calculează scăzând oricare doi termeni consecutivi, a_k - a_k-1:
- ⁹/₂ - (- 4) = - 4 - (- ⁷/₂) = - ⁷/₂ - (- 3) = - 3 - (- ⁵/₂) = - ⁵/₂ - (- 2) = - ¹/₂

Dacă notăm cu a = primul termen al seriei aritmetice, cu r = rația seriei, cu n = numărul de termeni ai seriei, atunci termenii seriei aritmetice vor fi:

Primul termen: a
În progresia noastră acest termen este: - 2

Al doilea termen:
a₂ = a + r

Al treilea termen:
a₃ = a₂ + r = a + r + r = a + 2 × r

Al patrulea termen:
a₄ = a₃ + r = a + 2 × r + r = a + 3 × r

...

Al k-lea termen:
a_k = a_k-1 + r = a + (k - 2) × r + r = a + (k - 1) × r

...

Al n-lea termen, ultimul:
a_n = a_n-1 + r = a + (n - 2) × r + r = a + (n - 1) × r
În progresia noastră acest termen este: - 85,5

Scriem seria aritmetică în două feluri.

Întâi o scriem de la termenul 'a' la termenul 'a_n', apoi o scriem "inversat", de la termenul 'a_n' la 'a':

S_n = a + a₂ + a₃ + ... + a_(n-2) + a_(n-1) + a_n

S_n = a_n + a_(n-1) + a_(n-2) + ... + a₃ + a₂ + a

Apoi adunăm cele două serii S_n:

S_n + S_n = (a + a_n) + (a₂ + a_(n-1)) + (a₃ + a_(n-2)) + ... + (a_(n-2) + a₃) + (a_(n-1) + a₂) + (a_n + a) =>

2 × S_n = (a + a + (n - 1) × r) + (a + r + a + (n - 2) × r) + (a + 2 × r + a + (n - 3) × r) + ... + (a + (n - 3) × r + a + 2 × r) + (a + (n - 2) × r + a + r) + (a + (n - 1) × r + a) =>

2 × S_n = (2 × a + (n - 1) × r) + (2 × a + (n - 1) × r) + (2 × a + (n - 1) × r) + ... + (2 × a + (n - 1) × r) + (2 × a + (n - 1) × r) + (2 × a + (n - 1) × r) =>

2 × S_n = n × (2 × a + (n - 1) × r) =>

S_n = ⁿ/₂ × (2 × a + (n - 1) × r)

S_n = ⁿ/₂ × (2 × a + (n - 1) × r)

n = numărul de termeni din seria aritmetică

a = primul termen al seriei aritmetice

r = rația a seriei aritmetice

a_n = ultimul termen al seriei aritmetice

În plus, știind că a_n = a + (n - 1) × r

Putem scrie suma S_n și sub forma:

S_n = ⁿ/₂ × (a + a_n)

Folosim una din cele două formule

Formula nr. 1:
S_n = ⁿ/₂ × (a + a_n)

Formula nr. 2:
S_n = ⁿ/₂ × (2 × a + (n - 1) × r)