Calculează Suma Termenilor Seriei (Progresiei) Aritmetice (sau Gauss) fiind date Primul termen al seriei, Rația și Ultimul termen. Sunt acceptate pentru acestea valori întregi, numere zecimale și fracții. Calculator online: învață cum se adună numerele seriei, formulă, explicații și rezultat

Calculează suma S_n a termenilor Seriei (Progresiei) Aritmetice

1. Având a = primul termen al seriei (progresiei), a_n = ultimul termen, r = rația, n = numărul de termeni ai seriei, unde a, a_n și r sunt cunoscute, din formula: a_n = a + (n – 1) × r calculăm n. 2. Înlocuim valorile cunoscute în formula de calcul a sumei seriei: S_n = ⁿ/₂ × (a + a_n)

Ultimele Sume calculate ale Termenilor Seriilor Aritmetice, dacă se știu: Primul termen, Rația și Ultimul termen

Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen 3, rația 1/3 și ultimul termen 27	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -1/2, rația -1/2 și ultimul termen -20.5	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -1/2, rația -1/2 și ultimul termen -20	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen 3, rația 1/3 și ultimul termen 27	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -11/2, rația -2 și ultimul termen -27/2	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -1/2, rația -1/2 și ultimul termen -20	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -1/2, rația -1/2 și ultimul termen -20.5	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen 1, rația 1 și ultimul termen 204	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -2, rația -1/2 și ultimul termen -85.5	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -2, rația -1/2 și ultimul termen -85.5	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen 1, rația 1 și ultimul termen 204	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -11/2, rația -2 și ultimul termen -27/2	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Calculează suma termenilor seriei aritmetice, se știu: primul termen -425, rația 6 și ultimul termen -5	14 iul, 03:46 EET (UTC +2)
Toate Sumele calculate ale Termenilor Seriilor Aritmetice, dacă se știu: Primul termen, Rația și Ultimul termen

Suma unei progresii aritmetice (numită și serie aritmetică)

Ce este o serie aritmetică, numită și progresie aritmetică?

O serie aritmetică (numită și progresie aritmetică) este un set de numere ordonate în care diferența între oricare două numere consecutive este aceeași. Această diferență se numește rația seriei (progresiei) aritmetice. Numerele ordonate se numesc termenii seriei.

Exemple de progresii (serii) aritmetice:
2, 4, 6, 8, 10. Rația seriei este 4 - 2 = 6 - 4 = 8 - 6 = 10 - 8 = 2.
1, 5, 9, 13, 17, 21, 25. Rația seriei este 5 - 1 = 9 - 5 = 13 - 9 = 17 - 13 = 21 - 17 = 25 - 21 = 4.

Cum arată o serie (progresie) aritmetică, la modul general?

Dacă notăm cu a = primul termen al seriei aritmetice, cu r = rația seriei, cu n = numărul de termeni ai seriei, atunci termenii seriei aritmetice vor fi:
Primul termen: a
Al doilea termen:
a₂ = a + d
Al treilea termen:
a₃ = a₂ + d = a + d + d = a + 2 × d
Al patrulea termen:
a₄ = a₃ + d = a + 2 × d + d = a + 3 × d
...
Al k-lea termen:
a_k = a_k-1 + d = a + (k - 2) × d + d = a + (k - 1) × d
Al n-lea termen, ultimul:
a_n = a_n-1 + d = a + (n - 2) × d + d = a + (n - 1) × d

Cum se ajunge la formula Sumei S_n a termenilor unei serii aritmetice?

Scriem seria aritmetică în două feluri.
Întâi o scriem de la termenul 'a' la termenul 'a_n', apoi o scriem "inversat", de la termenul 'a_n' la 'a':
S_n = a + a₂ + a₃ + ... + a_(n-2) + a_(n-1) + a_n
S_n = a_n + a_(n-1) + a_(n-2) + ... + a₃ + a₂ + a
Apoi adunăm cele două serii S_n, care au fost scrise diferit:
S_n + S_n = (a + a_n) + (a₂ + a_(n-1)) + (a₃ + a_(n-2)) + ... + (a_(n-2) + a₃) + (a_(n-1) + a₂) + (a_n + a) =>
2 × S_n = (a + a + (n - 1) × d) + (a + d + a + (n - 2) × d) + (a + 2 × d + a + (n - 3) × d) + ... + (a + (n - 3) × d + a + 2 × d) + (a + (n - 2) × d + a + d) + (a + (n - 1) × d + a) =>
2 × S_n = (2 × a + (n - 1) × d) + (2 × a + (n - 1) × d) + (2 × a + (n - 1) × d) + ... + (2 × a + (n - 1) × d) + (2 × a + (n - 1) × d) + (2 × a + (n - 1) × d) =>
2 × S_n = n × (2 × a + (n - 1) × d) =>
S_n = ⁿ/₂ × (2 × a + (n - 1) × d)

Formula sumei unei serii (progresii) aritmetice:

S_n = ⁿ/₂ × (2 × a + (n - 1) × d)
n = numărul de termeni din seria aritmetică
a = primul termen al seriei aritmetice
r = rația a seriei aritmetice
a_n = ultimul termen al seriei aritmetice
...
În plus, știind că a_n = a + (n - 1) × d
Putem scrie suma S_n și sub forma:
S_n = ⁿ/₂ × (a + a_n)

Fiind date primul termen, rația și ultimul termen, cum calculăm suma termenilor acestei serii (progresii) aritmetice?

Folosim formula ultimului termen, a_n:
a_n = a + (n - 1) × d =>
a_n - a = (n - 1) × d =>
(a_n - a) : d = (n - 1) =>
(a_n - a) : d + 1 = n =>
n = (a_n - a) : d + 1

Calculează suma Sn a termenilor Seriei (Progresiei) Aritmetice

1. Având a = primul termen al seriei (progresiei), an = ultimul termen, r = rația, n = numărul de termeni ai seriei, unde a, an și r sunt cunoscute, din formula: an = a + (n – 1) × r calculăm n. 2. Înlocuim valorile cunoscute în formula de calcul a sumei seriei: Sn = n/2 × (a + an)